ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

1. Πληθυσμός και Δείγμα

1.1. Πληθυσμός
Στη Στατιστική, όταν λέμε Πληθυσμό (population) ενοούμε ένα σύνολο αντικειμένων ή ατόμων, που εξετάζονται ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Ενας πληθυσμός μπορεί να είναι ένα σύνολο ανθρώπων, που κατοικούν σε μια ορισμένη περιοχή κάποιο συγκεκριμένο χρονικό διάστημα ή  κάποιο είδος ζώων ή φυτών ή ένα σύνολο από λάμπες, μπαταρίες ή καρέκλες ή ακόμη και από αφηρημένες έννοιες, όπως οι λέξεις που βρίσκονται σε μια σελίδα βιβλίου. 
Γενικά ένας πληθυσμός καθορίζεται πάντοτε απο το είδος της μελέτης που θέλουμε να κάνουμε. Αν δηλαδή, μας ενδιαφέρει να μελετηθεί ένα χαρακτηριστικό (π.χ. το εισόδημα, η προτίμηση σε κάποια προϊόντα, η χοληστερίνη κ.λ.π) των κατοίκων της Ελλάδας, τότε ο πληθυσμός αποτελείται απο όλους τους κατοίκους της χώρας μας. Αντίθετα αν το ενδιαφέρον μας επικεντρώνεται στους κατοίκους της Αθήνας ή της Κρήτης, ο αντίστοιχος πληθυσμός περιορίζεται στους κατοίκους των  παραπάνω περιοχών. Είναι βασικό στοιχείο στην έρευνά μας, να καθορίζουμε εκ των προτέρων ακριβώς ποίος είναι ο πληθυσμός τον οποίο θα μελετήσουμε, προς αποφυγή οποιονδήποτε παρεξηγήσεων ή παρερμηνειών.  
Η Περιγραφική Στατιστική (Descriptive Statistics) ασχολείται αποκλειστικά με την καταγραφή και παρουσίαση κάποιων στοιχείων ενός πληθυσμού. Η παρουσίαση αυτή μπορεί να γίνει με πίνακες ή γραφικές παραστάσεις. Το μεγαλύτερο όμως πρόβλημα στην Στατιστική  είναι η αντικειμενική αδυναμία καταγραφής (απογραφής) ολόκληρου του πληθυσμού. Αυτό μπορεί να οφείλεται σε πολλούς λόγους: 
1) Oι περισσότεροι πληθυσμοί που μας ενδιαφέρουν έχουν μεγάλο μέγεθος και μπορούν να θεωρηθούν πρακτικά άπειροι. 
2) Οι πληθυσμοί δεν είναι σταθεροί αφού υπάρχουν γεννήσεις, θάνατοι ή μεταναστεύσεις.
3) Το μεγάλο κόστος μιας έρευνας μας απαγορεύει τις περισσότερες φορές την εξέταση των χαρακτηριστικών ενός πληθυσμού στο σύνολό του, ακόμη και αν αυτός είναι πεπερασμένος (π.χ. ερωτηματολόγια σε φοιτητές κάποιου συγκεκριμένου Πανεπιστημίου). 
Για τους παραπάνω λόγους η μέθοδος της απογραφής τυ πληθυσμού, χρησιμοποιείται σπάνια και μάλιστα μόνο για ορισμένα χαρακτηριστικά (αριθμός κατοίκων ανά περιοχή, αριθμός μελών μιας οικογένειας ή αριθμός απασχολούμενων και ανέργων). Φανταστείτε αν θέλαμε να μετρήσουμε το ζάχαρο ή τη χοληστερίνη όλων των κατοίκων της Ελλάδας τι θα έρπεπε να γίνει! 

Οι μετρήσεις λοιπόν του χαρακτηριστικού που μας ενδιαφέρει γίνονται κατα κανόνα σε ένα υποσύνολο του πληθυσμού, που ονομάζεται δείγμα (sample). Στην περίπτωση αυτή βέβαια η Περιγραφική Στατιστική (Descriptive Statistics) παρουσιάζει τα στοιχεία του δείγματος, ενώ ένας άλλος κλάδος της Στατιστικής, η Στατιστική Συμπερασματολογία (Inference) με βάση τα δεδομένα του δείγματος, προχωράει στην εξαγωγή συμπερασμάτων για ολόκληρο τον πληθυσμό. Σε μια τέτοια περίπτωση, πολύτιμες πληροφορίες, που αφορούν το σύνολο του πληθυσμού, χάνονται, έτσι ώστε τα αποτελέσματα να γίνονται πολλές φορές αμφίβολα. Για το λόγο αυτό έχει αναπτυχθεί μια θεωρία, που μας δίνει τους βέλτιστους τρόπους συλλογής δείγματος απο τον πληθυσμό, καθώς επίσης και το μέγεθος του δείγματος, ώστε τα αποτελέσματα να είναι αξιόπιστα. Η θεωρία αυτή ονομάζεται Θεωρία Δειγματοληψίας (Sampling theory) και ξεφεύγει απο τον σκοπό των σημειώσεων αυτών. Σε γενικές γραμμές το δείγμα μπορεί να είναι τυχαίο (random sample) ή όχι.
Τυχαίο Δείγμα είναι αυτό στο οποίο το κάθε άτομο έχει την ίδια ακριβώς "πιθανότητα" να επιλεχθεί σαν μέλος του. Αυτό σημαίνει οτι η επιλογή των ατόμων μιας πόλης, στα οποία θα γίνει μια έρευνα (π.χ. μέτρηση εισοδήματος),  θα γίνει "εντελώς στην τύχη. Υπάρχουν μέθοδοι, όπου αριθμούμε τα άτομα του πληθυσμού, και με βάση κάποιους πίνακες Τυχαίων Αριθμών (random numbers) επιλέγουμε 10, 100, 1000 άτομα για την έρευνα. Σε άλλες ερευνες χρησιμοποιείται ο τηλεφωνικός κατάλογος, ενώ για τις διάφορες κλινικές μελέτες χρησιμοποιούνται τα άτομα που εισάγονται σε κάποια κλινική. 
Αν ο πληθυσμός μας αποτελείται από κάποια “στρώματα” (κλάσεις, ομάδες), π.χ. άνδρες-γυναίκες, τάξεις ηλικιών (<18, 19-35, 36-55, >56), περιοχές διαμονής (Αθήνα-Θεσ/νίκη, αστικά κέντρα, επαρχία), μόρφωση (Ανώτερη, Μέση, Κατώτερη) κ.λ.π., τότε είναι πιθανόν προτιμότερο να χρησιμοποιηθεί η στωματοποιημένη δειγματοληψία (stratified sampling). Στην περίπτωση αυτή, που είναι αρκετά συνηθισμένη σε κοινωνικές έρευνες, επιλέγεται ένα τυχαίο δείγμα από κάθε μία από τις ομάδες αυτές και στη συνέχεια τα συμπεράσματα μπορούν να αφορούν την καθε ομάδα χωριστά ή και το σύνολο.  
Το απαιτούμενο μέγεθος δείγματος, εξαρτάται απο τη φύση της έρευνάς μας, τις δυσκολίες που αντιμετωπίζουμε στην επιλογή των ατόμων, στο πόσους ερευνητές θα απασχολήσουμε, το χρόνο που απαιτείται για τη συμπλήρωση των ερωτηματολογίων κ.λ.π. 
Στη συνέχεια θα συμβολίζουμε με n το μέγεθος του τυχαίου δείγματος, δηλ. τον αριθμό των ατόμων που μετρούμε (βλ. σχήμα 1)

1.2. Χαρακτηριστικά - Μεταβλητές 
Σε όλες τις στατιστικές έρευνες ενδιαφερόμαστε να μελετήσουμε κάποια χαρακτηριστικά γνωρίσματα του πληθυσμού (ή του δείγματος). Τα χαρακτηριστικά, που στη μαθηματική γλώσσα ονομάζονται και Μεταβλητές (variables), διακρίνονται σε δύο βασικές κατηγορίες:

1) Ποσοτικά
Τα χαρακτηριστικά αυτά εκφράζονται με αριθμούς. Π.χ. αν ενδιαφερόμαστε για τη μέτρηση του βάρους, του εισοδήματος, του ζαχάρου, του αριθμού των παιδιών σε μια οικογένεια, κ.λ.π., το αποτέλεσμα θα είναι πάντοτε κάποιος αριθμός (π.χ. 120, 58Kg, 160 ml ή 3 παιδιά αντίστοιχα). Οι ποσοτικές μεταβλητές διακρίνονται σε δύο βασικές κατηγορίες:
α) Διακριτές ή Ασυνεχείς (Discrete), όταν οι δυνατές τιμές τους είναι πεπερασμένες (ή γενικότερα αριθμήσιμες), π.χ. ο αριθμός των παιδιών μιας οικογένειας (0, 1, 2, 3, 4, ....) ή ο αριθμός αποικιών ενός μύκητα σε μία καλλιέργεια (0, 1, 2, 3, ...) ή ο αριθμός των θανάτων από καρκίνο τον τελευταίο μήνα σε κάποια χώρα. Στην περίπτωση αυτή ανάμεσα σε δύο τιμές της μεταβλητής δεν υπάρχει καμία άλλη. Αν και μαθηματικά δεν είναι απόλυτα σωστό, θα θεωρούμε στη συνέχεια διακριτές τις μεταβλητές, που παίρνουν ΛΙΓΕΣ ακέραιες τιμές.
β) Συνεχείς (Continuous), όταν οι δυνατές τιμές τους είναι άπειρες. Σωστότερα, συνεχής είναι μια μεταβλητή όταν μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή ανάμεσα σε δύο δυνατές τιμές της. Το ύψος και το βάρος είναι τα πιο κλασικά παραδείγματα συνεχών μεταβλητών. Πράγματι ανάμεσα σε δύο ύψη, π.χ. 1,65 και 1,66 υπάρχουν άπειρες άλλες τιμές (1,655, 1,6551, ... ) αν και με τα περιορισμένα όργανα μέτρησης που διαθέτουμε, μόνο πεπερασμένες απο αυτές είναι διαθέσιμες στον ερευνητή. Επίσης άλλα παραδείγματα συνεχών μεταβλητών είναι οι μετρήσεις της χοληστερίνης, του ζαχάρου και της πίεσης, καθώς επίσης του εισοδήματος, της βαθμολογίας, του I.Q ή της ηλικίας ενός ατόμου. 
Μια ειδική κατηγορία συνεχών ποσοτικών χαρακτηριστικών είναι οι διάφοροι δείκτες. Ενας δείκτης είναι συνήθως ένα πηλίκο εκφρασμένο επί τοις εκατό, επί τοις χιλίοις κλπ. (δηλ. με αναγωγή στους 100, τους 1000, τους 10000 κατοίκους) Π.χ. ο αριθμός θανάτων απο κάποιο νόσημα ανά 10000 ασθενείς εκφράζεται απο τον δείκτη Α
	Α = ( Αριθμός θανάτων / Σύνολο ασθενών ) . 10000
ή ο αριθμός σχολικών αιθουσών ανα 100 μαθητές είναι ο Β
Β = ( Αριθμός αιθουσών / Αριθμός μαθητών ) . 100
Ο πολλαπλασιασμός επί 100, 1000, κ.λ.π. γίνεται για λόγους ευκολίας, επειδή το πηλίκο είναι συχνά πολύ μικρό (π.χ. ο αριθμός 0.0000145 αν πολ/στεί με το 100000 γίνεται 1.45)
	
2) Ποιοτικά 
Είναι τα χαρακτηριστικά, που δεν επιδέχονται αριθμητική μέτρηση, αλλά μόνο περιγραφή, όπως το χρώμα ματιών (μαύρο, καστανό, γαλάζιο ή πράσινο), η οικογενειακή κατάσταση (άγαμος, έγγαμος, διαζευγμένος,...), κ.λ.π. Τα χαρακτηριστικά αυτά, ονομάζονται επίσης και Κατηγορικά (Categorical), γιατί οι τιμές που παίρνουν είναι κάποιες κατηγορίες πλήρως διακεκριμένες μεταξύ τους. Χρειάζεται μεγάλη προσοχή στον καθορισμό των κατηγοριών, και στα όριά τους, αφού ένα άτομο απο τον πληθυσμό μπορεί να ανήκει  μόνο σε μία τέτοια κατηγορία (δεν υπάρχει άτομο που να έχει συγχρόνως μαύρα και γαλανά μάτια).  Επιπλέον τα ποιοτικά χαρακτηριστικά μπορούν να διαιρεθούν και σε: 
α) Διατάξιμα (ordinal), όταν οι τιμές που δέχονται είναι διατεταγμένες με κάποια σειρά. Π.χ. το αποτέλεσμα ενός φαρμάκου (βελτίωση, στασιμότητα, επιδείνωση), η μόρφωση (ανώτερη, μέση, κατώτερη) ή η προτίμηση σε κάποιο προϊόν (πάρα πολύ, αρκετά, λίγο, καθόλου). Η σειρά, που γράφονται οι εκάστοτε κατηγορίες, έχει νόημα και μπορεί να συμβολίζεται αριθμητικά με 0, 1, 2,... Ανάλογα με την έρευνα βέβαια, ο ερευνητής μπορεί να αλλάξει τη σειρά των τιμών από αύξουσα σε φθίνουσα και αντίστροφα, π.χ. επιδείνωση, στασιμότητα, βελτίωση, όχι όμως και να τις κατατάξει τυχαία! (επιδείνωση, βελτίωση, στασιμότητα).  
β) Ονομαστικά (nominal), όπως είναι το χρώμα ματιών ή οι ομάδες αίματος. Στην περίπτωση αυτή δεν μπορούμε να πούμε οτι η ομάδα αίματος Α είναι πιο ψηλά στην ιεραρχία απο την ομάδα 0 ή αντίστροφα. Στα ονομαστικά δεδομένα η σειρά που οι διάφορες κατηγορίες της μεταβλητής γράφονται σε κάποιο πίνακα ή γραφική παράσταση δεν παίζει κανένα ρόλο.
γ) Διχοτόμα (dichotomous), που μπορούν να δεχτούν μόνο δύο τιμές. Π.χ. το φύλο (αρσενικό - θηλυκό), αν κάποιος άνθρωπος είναι καπνιστής ή όχι, αν είναι ασθενής ή υγιής κ.λ.π. Σε διχοτόμους πληθυσμούς οι δύο τιμές της μεταβλητής συμβολίζονται συνήθως με 0 και 1.     

Μετασχηματισμός ποσοτικών σε ποιοτικά χαρακτηριστικά.
Σε πολλές περιπτώσεις είναι ιδιαίτερα χρήσιμο στη στατιστική ανάλυση, τα ποσοτικά (συνήθως συνεχή) χαρακτηριστικά να μετασχηματιστούν σε ποιοτικά (διατάξιμα). Π.χ. έχοντας μετρήσει κάποιες βαθμολογίες μαθητών, μπορούμε να θεωρήσουμε την παρακάτω ομαδοποίηση:
Βαθμός (ποσοτ. μεταβλ.)		Βαθμός (ποιοτ. μεταβλ.)	
< 10		Απορρίπτεται	
10-15		Καλώς	
16-18		Λίαν καλώς	
> 18		Αριστα	
Η ομαδοποίηση είναι συνήθως χρήσιμη, όπως θα δούμε παρακάτω και γίνεται σε περιπτώσεις που οι τιμές μας είναι πάρα πολλές και η ακριβής παρουσίασή τους δεν εξυπηρετεί κανένα σκοπό.

2. Παρουσίαση στατιστικών δεδομένων.

Στη συνέχεια θα περιγράψουμε τους δύο τρόπους παρουσίασης των χαρακτηριστικών ενός πληθυσμού, με τη μορφή πινάκων ή γραφικών παραστάσεων, αρχικά αναφερόμενοι στα ποιοτικά δεδομένα (ραβδογράμματα, κυκλικά διαγράμματα) και στη συνέχεια στα συνεχή ποσοτικά δεδομένα (πίνακες συχνοτήτων, ιστογράμματα). Στην πρώτη περίπτωση θεωρήσαμε σκόπιμο να περιλάβουμε και την περίπτωση των διακριτών ποσοτικών δεδομένων, αφού η παρουσίαση είναι ακριβώς η ίδια.

2.1. Ποιοτικά χαρακτηριστικά (ή διακριτά ποσοτικά)
 Συνήθως μια πρώτη παρουσίαση των χαρακτηριστικών αυτών γίνεται με πίνακες, που απεικονίζουν τις διάφορες κατηγορίες της μεταβλητής και τις αντίστοιχες συχνότητες εμφάνισης των ατόμων σ' αυτές. Οι πίνακες μπορεί να είναι απλής εισόδου όπως ο πίνακας 1 ή διπλής εισόδου όταν μελετάμε συγχρόνως δύο χαρακτηριστικά (χρόνος επιβίωσης - είδος φαρμάκου) στο ίδιο δείγμα ατόμων, όπως ο πίνακας 2. Η μέτρηση και παρουσίαση με μορφή πινάκων, τριών ή περισσοτέρων χαρακτηριστικών μπορεί να γίνει με πίνακες τριπλής ή πολλαπλής  εισόδου, που κανονικά θα έπρεπε να είναι πολυδιάστατοι. Στον πίνακα 3 δίνουμε έναν τρόπο παρουσίασης περισσοτέρων των δύο χαρακτηριστικών (χρόνος επιβίωσης - είδος φαρμάκου - θερμοκρασία περιβάλλοντος) στις δύο διαστάσεις. Ενας πίνακας πρέπει πάντοτε να συνοδεύεται απο έναν τίτλο, που πολύ συχνά περιλαμβάνει και επιπλέον επεξηγηματικά στοιχεία για το περιεχόμενό του.
Σε ένα πίνακα παρουσιάζονται συνήθως και οι σχετικές (ή ποσοστιαίες) συχνότητες σε χωριστή στήλη, που δίνονται από τον τύπο
		Σχετική συχνότητα (%) = ( Συχνότητα / Σύνολο ) * 100 
ή συμβολικά
		fi = (ni / n)*100 

Πίνακας 1. Μετρήσεις της συστολικής πίεσης 200 ατόμων που εισήχθησαν σε μια κλινική. 

Πίεση	Συχνότητα	Σχετ. συχνότητα (%)	
Υπόταση	19	9.5	
Χαμηλή	85	42.5	
Υψηλή	80	40.0	
Υπέρταση	16	8.0	
Σύνολο	200	100.0	

Πίνακας 2. Πίεση και φύλο 200 ασθενών μιας συγκεκριμένης κλινικής 

	Υποταση	Χαμηλή	Υψηλή	Υπέρταση	Σύνολο	
Άνδρες	14	28	40	24	106	
Γυναίκες	18	32	26	18	94	
Σύνολο	32	60	66	42	200	

Η γραφική αναπαράσταση των ποιοτικών δεδομένων μπορεί να γίνει με:

α) Ραβδογράμματα (Bar Charts)
Υπάρχουν απλά και σύνθετα ραβδογράμματα, ανάλογα αν μετράμε ταυτόχρονα ένα ή δύο χαρακτηριστικά και γενικά σχηματίζονται ώς εξής:
Στον άξονα x τοποθετούνται οι τιμές της μεταβλητής στη σειρά (αν είναι διατάξιμη - ordinal) ή σε τυχαία σειρά (αν είναι ονομαστική - nominal). Στον άξονα y, τοποθετούνται οι συχνότητες εμφάνισης των τιμών και στη συνέχεια κατασκευάζονται τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα. Οι βάσεις των ορθογωνίων πρέπει να είναι ίσες μεταξύ τους, ώστε να μπορεί να γίνει σύγκριση ανάμεσα στις διάφορες συχνότητες. Ετσι για τον πίνακα 1, το απλό ραβδόγραμμα έχει τη μορφή

ενώ για τον πίνακα 2, παρουσιάζουμε έχουμε ένα σύνθετο ραβδόγραμμα 

Σημειώστε επίσης, οτι μια γραφική παράσταση, για να είναι πλήρης, πρέπει να συνοδεύεται πάντοτε απο έναν τίτλο με επεξηγηματικά στοιχεία, και πολύ συχνα απο ένα υπόμνημα (legend).

β) Κυκλικά διαγράμματα ή Πίτες (Pie Charts)
Για την κατασκευή  κυκλικών διαγραμμάτων πρέπει να υπολογίσουμε το ποσοστό (%) των ατόμων, που ανήκουν στην κάθε κατηγορία και στη συνέχεια να υπολογίσουμε την αντίστοιχη γωνία του κυκλικού τομέα που θα καταλαμβάνει, σαν ποσοστό επι των 360ο.
Τα διαγράμματα αυτά μπορούν να αναπαραστήσουν πίνακες μόνον απλής εισόδου και δεν εφαρμόζονται για συγκρίσεις, όπως τα ραβδογράμματα. Σαν παράδειγμα ας θεωρήσουμε τον παρακάτω πίνακα:

Πίνακας 4. Αιτία θανάτων 556 ασθενών κατά τη διάρκεια του τελευταίου διμήνου σε μια πόλη
					       Συχνότητα    Σχετ.Συχνότητα.
Νόσοι καρδιάς	315	56.65%	
Καρκίνοι	101	18.16%	
Νόσοι αγγείων εγκεφάλου	108	19.42%	
Διάφορα	  32	5.75%	
Συνολο	   556	100%	
Οι γωνίες του κύκλου, που αντιστοιχούν στις τέσσερις κατηγορίες θα είναι
      θ1 = (315/556)  360  = 204ο 
      θ2 = (101/556)  360  = 65ο 
      θ3 = (108/556)  360  = 70ο 
      θ4 = ( 32/556)  360   = 20ο 
Το κυκλικό διάγραμμα για τον πίνακα 4, δίνεται παρακάτω.

2.2.  Ποσοτικά χαρακτηριστικά
Οι πίνακες με τους οποίους παρουσιάζουμε τα ποσοτικά χαρακτηριστικά είναι  πίνακες συχνοτήτων ή κατανομές συχνοτήτων (frequency distributions). Δηλ. γενικά

Τιμές της μεταβλητής 
 (x)	Συχνότητα
(ni)	Σχετική Συχνότητα
(fi) %	
x1	n1	f1 	
x2	n2	f2	
....	...	...	
xk	nk	fk	
Σύνολο	n	100 %	

Τα x1,x2,...,xk είναι όλες οι δυνατές τιμές της μεταβλητής Χ, και τοποθετούνται στον πίνακα συνήθως σε σειρά αύξουσα. Οι συχνότητες εμφάνισης των τιμών αυτών στο δείγμα η τον πληθυσμό ονομάζονται συνήθως και απόλυτες συχνότητες, σε αντίθεση με τις σχετικές ή ποσοστιαίες συχνότητες (relative frequences), που είναι τα ποσοστά εμφάνισης των διαφόρων τιμών. Οι σχετικές συχνότητες συμβολίζονται με rfi και υπολογίζονται απο τον τύπο
  		fi = (ni / n)*100 
Είναι φανερό οτι τα διακριτά ποσοτικά χαρακτηριστικά, μπορούν εύκολα να παρασταθούν με τέτοιους πίνακες, σε αντίθεση με τα συνεχή, που παίρνουν πολλές δυνατές τιμές, συνεπώς ένας πίνακας που θα τις περιείχε όλες, θα ήταν πολύ μεγάλος και δυσανάγνωστος. Για το λόγο αυτό προχωράμε σε ομαδοποίηση των μετρήσεων (βλ. επόμενη παράγραφο).
Παράδειγμα
Ο παρακάτω πίνακας δείχνει την κατανομή συχνοτήτων του αριθμού των παιδιών 200 οικογενειών, που επιλέχθηκαν τυχαία. Βρέθηκαν οικογένειες με 0,1,2 ή 3 παιδιά:

Αριθμός παιδιών	Συχνότητες	Σχετικές Συχν. (%)	
0	  34	17.0	
1	125	62.5	
2	  30	15.0	
3	  11	  5.5	
Συνολο	200	100	
Στην περίπτωση αυτή μπορούμε να συμπληρώσουμε τον πίνακα με τις Αθροιστικές Συχνότητες (Ni) ή τις Σχετικές Αθροιστικές Συχνότητες (Fi), ως εξής:

Αριθμός παιδιών	Συχνότητες	Σχετικές Συχνότητες (%)	Αθροιστικές συχνότητες 	Σχετικές Αθροιστικές συχνότητες (%)	
0	  34	17,0	34	17,0	
1	125	62,5	159	79,5	
2	  30	15,0	189	94,5	
3	  11	  5,5	200	100,0	
Συνολο	200	100			

Ενώ οι απλές συχνότητες (ni, fi) μας δίνουν π.χ. «πόσες οικογένειες έχουν ακριβώς 2 παιδιά» (30 ή 15,0%), οι αθροιστικές μας δίνουν π.χ. «πόσες οικογένειες έχουν μέχρι και 2 παιδιά» (189 ή 94,5%), Οι αθροιστικές συχνότητες υπολογίζονται προσθέτοντας διαδοχικά τις αντίστοιχες απλές συχνότητες. 

2.2.1.  Ομαδοποίηση των μετρήσεων (Συνεχή ποσοτικά δεδομένα)
Ομαδοποίηση είναι η διαδικασία, που χωρίζουμε τη συνολική έκταση των μετρήσεων σε διαδοχικές κλάσεις (διαδοχικά διαστήματα), και στη συνέχεια δημιουργούμε τον πίνακα συχνοτήτων με βάση το πόσες μετρήσεις βρίσκονται σε κάθε κλάση. Αν δηλ. x1 και  xn είναι αντίστοιχα η μικρότερη και η μεγαλύτερη παρατήρηση στο δείγμα μεγέθους n, που έχουμε, βρίσκουμε τη διαφορά xn -x1 και την έκταση αυτή διαιρούμε σε κάποια διαστήματα (του ίδιου πλάτους αν είναι δυνατόν), σχηματίζοντας τον παρακάτω πίνακα

Κλάσεις	Συχνότητα	
Β0 - Β1	n1	
Β1 - Β2	n2	
...	...	
Βk-1 - Βk	nk	
Σύνολο	n	
   
Τα παραπάνω διαστήματα θεωρούνται κλειστά απο κάτω και ανοικτά απο πάνω, δηλ. της μορφής [Βi,Bi+1). Αυτό είναι μια σύμβαση που γίνεται απο την αρχή, για να μην υπάρχουν αμφιβολίες για το πού θα καταταχθεί μια παρατήρηση που παίρνει ακριβώς την τιμή που βρίσκεται στο πάνω άκρο του διαστήματος Βi . 
Ο αριθμός των κλάσεων που θα ομαδοποιηθούν οι μετρήσεις, εξαρτάται απο το μέγεθος του δείγματος (n), αλλά γενικά πρέπει να είναι ένας αριθμός ανάμεσα στις 5 και τις 15. Δεν υπάρχει απόλυτος κανόνας για το πόσες κλάσεις πρέπει να διαλέξει ο ερευνητής, αλλά αυτό εξαρτάται κάθε φορά απο υποκειμενικά κριτήρια. Πάντως ένας τύπος που δίνει συνήθως καλά αποτελέσματα, είναι ο τύπος του Sturges:
 κ   1 + 3.322 log10n
	κ = αριθμός των κλάσεων και 
	log10n = δεκαδικός λογάριθμος του n.
Παράδειγμα
Ας υποθέσουμε οτι έχουμε τα παρακάτω δεδομένα: Σε μια μελέτη μετρήθηκε ο αριθμός των κρουσμάτων ανά μήνα κάποιας ασθένειας. Παρακάτω δίνονται τα αποτελέσματα για 45 μήνες που επιλέχτηκαν τυχαία μέσα στα τελευταία 50 χρόνια:

1959	6472	6627	7417	4801	7343	7428	9359	9166	
2802	4534	8372	4484	6082	 737	4189	8973	4327	
2412	2462	7020	8225	5633	9241	5321	 849	5749	
6837	7624	4000	6725	6142	4148	 962	3894	1801	
5099	8639	1548	3378	6964	2130	6588	5847	4632	
Για να γίνει η ομαδοποίηση των παραπάνω μετρήσεων ακολουθούμε τα εξής βήματα:

1) Βάζουμε τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά. Δηλ.
 737	1959	3378	4327	5099	6082	6725	7417	8639	
 849	2130	3894	4484	5321	6142	6837	7428	8973	
 962	2412	4000	4534	5633	6472	6964	7624	9166	
1548	2462	4148	4632	5749	6588	7020	8225	9241	
1801	2802	4189	4801	5847	6627	7343	8372	9359	
2) Βρίσκουμε το εύρος (R) των μετρήσεων, αφαιρώντας απο τη μεγαλύτερη τιμή τη μικρότερη
			R = 9359 - 737 = 8622
3) Εστω οτι διαλέγουμε 7 κλάσεις για την ομαδοποίηση.
			k = 7
4)  Υπολογίζουμε το πλάτος κάθε κλάσης (d)
d > R / k  = 8622 / 7 = 1231.7
Στρογγυλοποιώντας (ΠΑΝΤΑ ΠΡΟΣ ΤΑ ΠΑΝΩ), μπορούμε να θέσουμε σαν πλάτος κάθε τάξης, π.χ. το 1250. Επίσης μπορούμε να αρχίσουμε την πρώτη κλάση λίγο πιο κάτω απο τη μικρότερη παρατήρηση (π.χ. απο το 700). Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα ο πίνακας συχνοτήτων να γίνεται

Κλάσεις	Συχνότητα	
700-1950	5	
1950-3200	5	
3200-4450	6	
4450-5700	7	
5700-6950	9	
6950-8200	6	
8200-9450	7	
Σύνολο	45	
   
2.2.2. Σχετικές & Αθροιστικές Συχνότητες
Ο παραπάνω πίνακας μπορεί ακόμη να συμπληρωθεί με τις σχετικές συχνότητες, που υπολογίζονται ακριβώς όπως παραπάνω. Στο παράδειγμά μας έχουμε

Κλάσεις	Συχνότητα	Σχετ. Συχνότητα (%)	
700-1950	5	11,1	
1950-3200	5	11.1	
3200-4450	6	13,3	
4450-5700	7	15,6	
5700-6950	9	20,0 	
6950-8200	6	13,3	
8200-9450	7	15,6	
Σύνολο	45	100	

Μια άλλη μορφή συχνότητας, που είναι ιδιαίτερα χρήσιμη, είναι η Αθροιστική συχνότητα (Cummulative frequency).  Αντίθετα με την απόλυτη συχνότητα, που εκφράζει τον αριθμό των παρατηρήσεων, που βρίσκονται σε κάποια κλάση, η αθροιστική συχνότητα εκφράζει τον αριθμό των παρατηρήσεων που βρίσκονται μέχρι την κλάση που μας ενδιαφέρει. Αν π.χ. θέλουμε να δούμε πόσες παρατηρήσεις είναι μικρότερες απο το 6950, (δηλ. πόσους μήνες είχαμε λιγότερα από 6950 κρούσματα) προσθέτουμε όλες τις παρατηρήσεις που βρίσκονται στις κλάσεις μέχρι το 6950, δηλ. 5+5+6+7+9 = 32 παρατηρήσεις. Η αθροιστική συχνότητα συμβολίζεται με F, σε αντίθεση με το f της απόλυτης συχνότητας. Συνεπώς ο παραπάνω πίνακας πρέπει να συμπληρωθεί με δύο ακόμη στήλες, ως εξής:

Κλάσεις	Συχνότητα
(f)	Σχετ. Συχνότ.
(rf)	Αθρ.Συχνότ.
(F)	Σχ.Αθρ.Συχν.
(rF)	
700-1950	5	11,1	5	11,1	
1950-3200	5	11.1	10	22,2	
3200-4450	6	13,3	16	35,5	
4450-5700	7	15,6	23	51,1	
5700-6950	9	20,0 	32	71,1	
6950-8200	6	13,3	38	84,4	
8200-9450	7	15,6	45	100	
Σύνολο	45	100			

2.2.3. Ιστόγραμμα
Η γραφική παρουσίαση ομαδοποιημένων παρατηρήσεων, γίνεται με Ιστογράμματα. 
Διαδικασία κατασκευής ιστογράμματος
1) Χωρίζουμε τον άξονα των x, σε κλάσεις (διαστήματα), σύμφωνα με τον πίνακα των ομαδοποιημένων μετρήσεων.
2) Σε κάθε κλάση κατασκευάζουμε ορθογώνια παραλληλόγραμμα, που η βάση τους να καλύπτει την κλάση και το ύψος τους να εκφράζει τη απόλυτη συχνότητα της κλάσης.
Δηλ. για τα παραπάνω δεδομένα έχουμε (σχήμα 3)

Σχήμα 3. Ιστόγραμμα.

Τα ιστογράμματα μοιάζουν με τα απλά ραβδογράμματα, όμως η σημαντική τους διαφορά είναι στο γεγονός οτι τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα είναι συνεχόμενα και δεν απέχουν καθόλου μεταξύ τους. Αυτό οφείλεται βέβαια στο είδος των χαρακτηριστικών που παρουσιάζει το κάθε διάγραμμα. Στο ιστόγραμμα οι τιμές είναι συνεχείς και η ύπαρξη κενών μεταξύ δύο ορθογωνίων, θα σήμαινε ότι οι αντίστοιχες τιμές της μεταβλητής είναι αδύνατες ή έχουν συχνότητα εμφάνισης 0.  
Στη συνέχεια κατασκευάζουμε το πολύγωνο συχνοτήτων, ενώνοντας τα μέσα των άνω πλευρών των ορθογωνίων του ιστογράμματος. Για λόγους που θα γίνουν φανεροί αργότερα (συνεχείς κατανομές), έχει επικρατήσει το πολύγωνο αυτό να ενώνεται με τον άξονα των x και απο τις δύο πλευρές. Για να γίνει κάτι τέτοιο προσθέτουμε απο μια επιπλέον κλάση (ιδίου πλάτους) πάνω απο την τελευταία και κάτω απο την πρώτη κλάση της ομαδοποίησης, και ξεκινάμε και τελειώνουμε το πολύγωνο στα μέσα τους. Στο παράδειγμά μας έχουμε (σχήμα 4)

Σχήμα 4. Ιστόγραμμα & Πολύγωνο συχνοτήτων.
Στον άξονα των y, μπορούμε εκτός απο τις απόλυτες συχνότητες, να βάλουμε τις σχετικές, τις αθροιστικές ή τις σχετικές αθροιστικές συχνότητες, οπότε έχουμε το αντίστοιχο ιστόγραμμα ή πολύγωνο σχετικών, αθροιστικών ή σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων. Το ιστόγραμμα αθροιστικών συχνοτήτων έχει τη μορφή του σχήματος 5.

                               Σχήμα 5. Ιστόγραμμα αθροιστικών συχνοτήτων.

ενώ το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων, κατασκευάζεται με παρόμοιο τρόπο με τη διαφορά οτι ενώνουμε τις άνω δεξιές κορυφές των ορθογωνίων, αντί για τα μέσα τους (σχήμα 6).

Σχήμα 6. Ιστόγραμμα & Πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων.

Ο ρόλος του πολυγώνου συχνοτήτων είναι πολύ σπουδαίος στη Στατιστική, αφού μας δείχνει μια πρώτη γραφική αναπαράσταση της κατανομής του πληθυσμού. Υπενθυμίζουμε οτι την κατανομή συχνοτήτων (και το ιστόγραμμα) για ολόκληρο τον πληθυσμό, δεν είναι δυνατόν να τα έχει κανείς. Μπορεί όμως, παίρνοντας ένα τυχαίο δείγμα, να έχει μια εικόνα του τι συμβαίνει και στον πληθυσμό ολόκληρο. Η εικόνα αυτή μπορεί να είναι καλύτερη όσο αυξάνει το μέγεθος του δείγματος, αφού περισσότερες πληροφορίες επεισέρχονται στη μελέτη. Ας δούμε στα επόμενα τρία σχήματα, τι θα μπορούσε να συμβεί στο ιστόγραμμα Και το πολύγωνο συχνοτήτων, αν αντί για 45 εργαζομένους σε 7 κλάσεις, είχαμε  100 σε 10 κλάσεις (σχ.7a), 1000 σε   15 κλάσεις (σχ. 7b) ή 100000 σε 30 κλάσεις (σχ. 7c)

Σχήμα 7. Ιστογράμματα & Πολύγωνα συχνοτήτων, για μέγεθος δείγματος a) n=100 b) n=1000 και c) n=100000.

  

Παρατηρούμε οτι όσο μεγαλώνει το μέγεθος του δείγματος  και "λεπταίνουν" οι κλάσεις, τόσο η τεθλασμένη γραμμή του πολυγώνου συχνοτήτων εξομαλύνεται και τείνει να γίνει καμπύλη. Η καμπύλη προς την οποία τείνει να εξομοιωθεί, ονομάζεται συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (probability density function) του πληθυσμού. Με τον ίδιο τρόπο, το αθροιστικό πολύγωνο συχνοτήτων τείνει να γίνει καμπύλη, η οποία ονομάζεται συνάρτηση κατανομής (distribution function) και είναι προφανώς μια αύξουσα συνάρτηση, που έχει τη μορφή του σχήματος 8

Σχήμα 8. Συνάρτηση κατανομής.

AΣΚΗΣΕΙΣ 

Ι-1)  Να ομαδοποιήσετε τις παρακάτω μετρήσεις και να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα και το πολύγωνο συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων.
12.2	12.9	11.8	11.9	11.6	11.1	12.3	12.2	11.8	11.8	
10.7	11.5	11.3	11.2	11.6	11.9	13.3	11.2	10.5	11.1	
12.1	11.9	10.4	10.7	10.8	11.0	11.9	10.2	10.9	11.6	
10.8	11.6	10.4	10.7	12.0	12.4	11.7	11.8	11.3	11.1	

Ι-2) Με τα στοιχεία του παρακάτω πίνακα, που παρουσιάζονται δύο χαρακτηριστικά, Φύλο και Ομάδα Αίματος, να κατασκευάσετε ένα Σύνθετο Ραβδόγραμμα. Επίσης να συμπληρώσετε τον πίνακα με τα ποσοστά ανα ομάδα αίματος, χωριστά για άνδρες και γυναίκες
Ομ.Αιμ	Ανδρες	Γυναίκες	
A	85	69	
AΒ	21	23	
B	8	12	
O	47	50	
Σύνολο	161	154	
			
Ομ.Αιμ	Ανδρες	Γυναίκες	
A			
AΒ			
B			
O			
Σύνολο	100%	100%	
  
Ι-3) Με τις παρακάτω μετρήσεις της χοληστερίνης σε ένα δείγμα 50 ατόμων, να συμπληρώσετε τον πίνακα συχνοτήτων, σχετικών και αθροιστικών συχνοτήτων και να σχεδιάσετε 
α) το ιστόγραμμα και το πολύγωνο συχνοτήτων και 
β) το ιστόγραμμα και το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων
230	190	240	189	188	185	195	158	177	172	
225	185	200	140	165	180	166	162	180	170	
168	156	180	155	165	175	202	227	295	138	
150	155	179	190	160	177	215	250	265	144	
145	256	144	180	185	196	210	210	224	180	

(χρησιμοποιείστε 6 ομάδες)

Ι-4) Με τις παρακάτω μετρήσεις της ηλικίας σε ένα δείγμα 40 ατόμων, να συμπληρώσετε τον πίνακα συχνοτήτων, σχετικών και αθροιστικών συχνοτήτων σε 5 ομάδες και να σχεδιάσετε το ιστόγραμμα και το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων
 
38	35	34	34	29	25	28	28	30	44	
50	45	40	29	33	31	31	32	36	39	
56	44	40	28	34	30	32	38	37	48	
52	41	30	24	38	28	25	47	43	55