MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι

ΤΜΗΜΑ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ. ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ 2010-11

ΠΡΟΣΟΧΗ

ΑΠΑΝΤΗΣΤΕ MONO ΣΤΑ 5 ΑΠΟ ΤΑ 8 ΘΕΜΑΤΑ. ΤΟ ΚΑΘΕ ΘΕΜΑ ΕΙΝΑΙ 200 ΜΟΝΑΔΕΣ

ΕΠΙΤΡΕΠΟΝΤΑΙ ΒΙΒΛΙΑ ΚΑΙ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ .ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ = 2 ΩΡΕΣ

ΜΕΓΙΣΤΗ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ =1000 ΜΟΝΑΔΕΣ.

1.Ένα ορθογώνιο χωράφι εμβαδού 216 m² πρόκειται να περιφραχθεί με σύρμα και συγχρόνως να χωριστεί σε δύο ίσα μέρη με σύρμα παράλληλο σε κάποια πλευρά του. Βρείτε το μικρότερο συνολικά μήκος σύρματος που θα χρειασθεί. (Παρατήρηση :Το σχήμα οπωσδήποτε βοηθάει!)

2.Ένας άνθρωπος ύψους 1,8 m με την κορυφή του κεφαλιού του στο φώς περπατά προς μία κολώνα της ΔΕΗ ύψους 6 m, με σταθερή ταχύτητα 1,05 m/sec.

(α)Με τι ρυθμό κινείται η άκρη της σκιάς του; (100 μονάδες)

(β)Με τι ρυθμό μεταβάλλεται το μήκος της σκιάς του; Mικραίνει η μεγαλώνει και γατί;(100 μον.)

(Υπόδειξη :Το σχήμα είναι εντελώς απαραίτητο .Αναλογίες πλευρών ομοίων τριγώνων.)

3.(α)Δείξτε ότι οι συναρτήσεις f(x)= arcsin[(x-1)/(x+1)] και g(x)= 2arctan(),oρισμένες στο (0,1], έχουν την ίδια παράγωγο. (125 μονάδες)

(β)Aνεξάρτητα αν δείξατε το (α), αφού εξηγήσετε τί σημαίνει αυτό για την διαφορά τους ,

δηλαδή την h(x) = f(x)- g(x) στο εν λόγω διάστημα , προσδιορίστε την h(x) εκεί. (75 μονάδες)

4.(α)Με 3 ώς 4 χαρακτηριστικές τιμές των (x,y) σχεδιάστε την καμπύλη που έχει εξίσωση

.(Προσοχή στο Π.Ο.) (60 μονάδες)

(β) Υπολογίστε το εμβαδόν που περικλείεται μεταξύ αυτής και των δύο αξόνων. (140 μονάδες)

5.Υπολογίστε ακριβώς την μικρότερη απόσταση των σημείων της καμπύλης που έχει εξίσωση

από την αρχή Ο=(0,0) των αξόνων.

(Υπόδειξη : Μην κάνετε σχήμα !Θέλετε απόσταση σημείων στο επίπεδο και έμμεση παραγώγιση.)

6.Δίνεται η συνάρτηση f(x)= x²/(x² +1).

(α)Βρείτε αν είναι άρτια ή περιττή και τι σημαίνει αυτό για την γραφική της παράσταση, αν έχει και ποιές ασύμπτωτες , αν έχει ολικό μέγιστο /ελάχιστο -και αν ναι πόσο είναι αυτό ή αυτά- και τέλος αν έχει σημεία καμπής και αν ναι ποιά είναι. (150 μονάδες)

(β) Κάντε μία υποφερτή γραφική παράσταση της f(x) με λογική κλίμακα αξόνων. (50 μονάδες)

7.Υπολογίστε το εμβαδόν του χωρίου στο πρώτο τεταρτημόριο που εσωκλείεται μεταξύ των καμπυλών y= 1-x² και y=cos(πx/2).

(Υπόδειξη : Κάντετε αξιοπρεπές σχήμα του χωρίου που με 3 «βολικές δοκιμές» οριοθετείται σωστά!)

8. Με γραμμικοποίηση (= πολυώνυμο 1ου βαθμού κοντά σε κατάλληλο σημείο) προσεγγίστε χωρίς calculator την τιμή του .(Υπόδειξη: f(x)= , 0,1875 0. Απάντ.: )